推合朔交会月蚀定大小余：以入历日余乘所入历损益率，以损益盈缩积分，为定积分。以章岁减所入历月行分，余以除之，所得以盈减缩加本小余。加之满日法者， 交会加时在后日；减之不足者，交会加时在前日。月蚀者，随定大小余为日加时。入历在周日者，以周日日余乘缩积分，为定积分。以损率乘入历日余，又以周日日 余乘之，以周日日度小分并之，以损定积分，余为后定积分。以章岁减周日月行分，余以周日日余乘之，以周日度小分并之，以除后定积分，所得以加本小余，如上 法。

推加时：以十二乘定小余，满日法得一辰，数从子起，算外，则朔望加时所在辰也。有余不尽者四之，如日法而一为少，二为半，三为太。又有余者三之，如日法而 一为强，半法以上排成之，不满半法废弃之。以强并少为少强，并半为半强，并太为太强。得二强者为少弱，以之并少为半弱，以之并半为太弱，以之并太为一辰 弱。以所在辰命之，则各得其少、太、半及强，弱也。其月蚀望在中节前后四日以还者，视限数；在中节前后五日以上者，视间限。定小余如间限、限数以下者，以 算上为日。

斗二十六分四百五十五牛八女十二虚十危十七室十六壁九

北方九十八度分四百五十五

奎十六娄十二胃十四昴十一毕十六觜二参九

西方八十度

井三十三鬼四柳十五星七张十八翼十八轸十七

南方百十二度

角十二亢九氐十五房五心五尾十八箕十一

东方七十五度

表略

右中节二十四气，如术求之，得冬至十一月中也。加之得次月节，加节得其月中。中星以日所在为正，置所求年二十四气小余，四之，如法得一为少；不尽少，三之，如法为强；所得以减其节气昏明中星各定。

推五星术

五星者，木曰岁星，火曰荧惑星，土曰填星，金曰太白星，水曰辰星。凡五星之行，有迟有疾，有留有逆。曩自开辟，清浊始分，则日月五星聚于星纪。发自星纪， 并而行天，迟疾留逆，互相逮及。星与日会，同宿共度，则谓之合。从合至合之日，则谓之终。各一以终之日与一岁之日通分相约，终而率之，岁数岁则谓之合终岁 数，岁终则谓之合终合数。二率既定，则法数生焉。以章岁乘合数，为合月法。以纪法乘合数，为日度法。以章月乘岁数，为合月分；如合月法为合月数，合月之余 为月余。以通数乘合月数，如日法而一，为大余。以六十去大余，余为星合朔大余。大余之余为朔小余。以通数乘月余，以合月法乘朔小余，并之，以日法乘合月法 除之，所得星合入月日数也。余以通法约之，为入月日余。以朔小余减日法，余为朔虚分。以历斗分乘合数，为星度斗分。木、火、土各以合数减岁数，余以周天乘 之，如日度法而一，所得则行星度数也，余则度余。金、水以周天乘岁数，如日度法而一，所得则行星度数也，余则度余也。

木：合终岁数，一千二百五十五。

合终合数，一千一百四十九。

合月法，二万一千八百三十一。

日度法，二百一十一万七千六百七。

合月数。一十三。

月余，一万一千一百二十二。

朔大余，二十三。

朔小余，四千九十三。

入月日，一十五。

日余，一百九十九万五千六百六十四。

朔虚分，四百六十六。

斗分，五十二万二千七百九十五。

行星度，三十三。

度余，一百四十七万二千八百六十九。

火：合终岁数，五千一百五。

合终合数，二千三百八十八。

合月法，四万五千三百七十二。

日度法，四百四十万一千八十四。

合月数，二十六。

月余，二万三。

朔大余，四十七。

朔小余，三千六百二十七。

入月日，一十三。

日余，三百五十八万五千二百三十。

朔虚分，九百三十二。

斗分，一百八万六千五百四十。

行星度，五十。

度余，一百四十一万二千一百五十。

土：合终岁数，三千九百四十三。

合终合数，三千八百九。

合月法，七万二千三百七十一。

日度法，七百一万九千九百八十七。

合月数，一十二。

月余，五万八千一百五十三。

朔大余，五十四。

朔小余，一千六百七十四。

入月日，二十四。

日余，六十七万五千三百六十四。

朔虚分，二千八百八十五。

斗分，一百七十三万三千九十五。

行星度，一十二。

度余，五百九十六万二千二百五十六。

金：合终岁数，一千九百七。

合终合数，二千三百八十五。

合月法，四万五千三百一十五。

日度法，四百三十九万五千五百五十五。

合月数，九。

月余，四万三百一十。

朔大余，二十五。

朔小余，三千五百三十五。

入月日，二十七。

日余，十九万四千九百九十。

朔虚分，一千二十四。

斗分，一百八万五千一百七十五。

行星度，二百九十二。

度余，十九万四千九百九十。

水：合终岁数，一千八百七十。

合终合数，一万一千七百八十九。

合月法，二十二万三千九百九十一。

日度法，二千一百七十二万七千一百二十七。

合月数，一。

月余，二十一万五千四百五十九。

朔大余，二十九。

朔小余，二千四百一十九。

入月日，二十八。

日余，二千三十四万四千二百六十一。

朔虚分，二千一百四十。

斗分，五百三十六万三千九百九十五。

行星度，五十七。

度余，二千三十四万千三百六十一。

推五星术曰：置壬辰元以来尽所求年，以合终合数乘之，满合终岁数得一，名积合，不尽名为合余。以合终合数减合余，得一者星合往年，得二者合前往年，无所得，合其年。余以减合终合数，为度分。金、水积合，偶为晨，奇为夕。

推五星合月：以月数、月余各乘积合，余满合月法从月，为积月，不尽为月余。以纪月除积月，所得算外，所入纪也，余为入纪月。副以章闰乘之，满章月得一为闰，以减入纪月，余以岁中去之，余为入岁月，命以天正起，算外，星合月也。其在闰交际，以朔御之。

推合月朔：以通数乘入纪月，满日法得一，为积日，不尽为小余。以六十去积日，余为大余，命以所入纪，算外，星合朔日也。

推入月日：以通数乘月余，合月法乘朔小余，并之，通法约之，所得满日度法得一，则星合入月日也，不满日余。命日以朔，算外，入月日也。

推星合度：以周天乘度分，满日度法得一为度，不尽为余。命以牛前五度起，算外，星所合度也。

求后全月：以月数加入岁月，以余加月余，余满合月法得一月。月不满岁中，即在其年；满去之，有闰计焉，余为后年；再满，在后二年。金、水加晨得夕，加夕得晨也。

求后合朔：以朔大、小余数加合朔月大、小余，其月余上成月者，又加大余二十九，小余二千四百一十九，小余满日法从大余，命如前法。

求后入月日：以入月日、日余加入月日及余，余满日度法得一。其前合朔小余满其虚分者，去一日；后小余满二千四百一十九以上，去二十九日；不满，去三十日，其余则后合入月日，命以朔。求后合度，以度数及分，如前合宿次命之。

木：晨与日合，伏，顺，十六日九十九万七千八百三十二分行星二度百七十九万五千二百三十八分，而晨见东方，在日后。顺，疾，日行五十七分之十一，五十七日 行十一度。顺，迟，日行九分，五十七日行九度而留。不行二十七日而旋。逆，日行七分之一，八十四日退十二度而复留。二十七日复迟，日行九分，五十七日行九 度而复顺。疾，日行十一分，五十七日行十一度，在日前，夕伏西方。顺，十六日九十九万七千八百三十二分行星二度百七十九万五千二百三十八分，而与日合。凡 一终，三百九十八日百九十九万五千六百六十四分，行星三十三度百四十七万二千八百六十九分。

火：晨与日合，伏，七十二日百七十九万二千六百一十五分行星五十六度百二十四万九千三百四十五分，而晨见东方，在日后。顺，日行二十三分之十四，百八十四 日行百一十二度。更顺，迟，日行十二分，九十二日行四十八度而留。不行十一日而旋。逆，日行六十二分之十七，六十二日退十七度而复留。十一日复顺，迟，日 行十二分，九十二日行四十八度而复疾。日行十四分，百八十四日行百一十二度，在日前，夕伏西方。顺，七十二日百七十九万二千六百一十五分行星五十六度百二 十四万九千三百四十五分，而与日合。凡一终，七百八十日三百五十八万五千二百三十分，行星四百一十五度二百四十九万八千六百九十分。

土：晨与日合，伏，十九日三百八十四万七千六百七十五分半行星二度六百四十九万一千一百二十一分半，而晨见东方，在日后。顺，行百七十二分之十三，八十六 日行六度半而留。不行三十二日半而旋。逆，日行十七分之一，百二日退六度而复留。不行三十二日半复顺，日行十三分，八十六日行六度半，在日前，夕伏西方。 顺，十九日三百八十四万七千六百七十五分半行星二度六百四十九万一千一百二十一分半，而与日合。凡一终，三百七十八日六十七万五千三百六十四分，行星十二 度五百九十六万二千二百五十六分。

金：晨与日合，伏，六日退四度，而晨见东方，在日后而逆。迟，日行五分之三，十日退六度。留，不行七日而旋。顺，迟，日行四十五分之三十三，四十五日行三 十三度而顺。疾，日行一度九十一分之十四，九十一日行百五度而顺。益疾，日行一度九十一分之二十一，九十一日行百一十二度，在日后，而晨伏东方。顺，四十 二日十九万四千九百九十分行星五十二度十九万四千九百九十分，而与日合。一合，二百九十二日十九万四千九百九十分，行星如之。

金：夕与日合，伏，顺，四十二日十九万四千九百九十分行星五十二度十九万四千九百九十分，而夕见西方，在日前。顺，疾，日行一度九十一分之二十一，九十一 日行百一十二度而更顺。迟，日行一度十四分，九十一日行百五度而顺。益迟，日行四十五分之三十三，四十五日行三十三度而留。不行七日而旋。逆，日行五分之 三，十日退六度，在日前，夕伏西方。逆，六日退四度，而与日合。凡再合一终，五百八十四日三十八万九千九百八十分，行星如之。

水：晨与日合，伏，十一日退七度，而晨见东方，在日后。逆，疾，一日退一度而留。不行一日而旋。顺，迟，日行八分之七，八日行七度而顺。疾，日行一度十八 分之四，十八日行二十二度，在日后，晨伏东方。顺，十八日二千三十四万四千二百六十一分行星三十六度二千三十四万四千二百六十一分，而与日合。凡一合，五 十七日二千三十四万四千二百六十一分，行星如之。

水：夕与日合，伏，十八日二千三十四万四千二百六十一分行星三十六度二千三十四万四千二百六十一分，而夕见西方，在日前。顺，疾，日行一度十八分之四，十 八日行二十二度而更顺。迟，日行八分之七，八日行七度而留。不行一日而旋。逆，一日退一度，在日前，夕伏西方。逆，十一日退七度，而与日合。凡再合一终， 百一十五日千八百九十六万一千三百九十五分，行星如之。

五星历步术

以法伏日度余加星合日度余，余满日度法得一从全，命之如前，得星见日及度余也。以星行分母乘见度分，如日度法得一，分不尽，半法以上亦得一，而日加所行 分，分满其母得一度。逆顺母不同，以当行之母乘故分，如故母而一，当行分也。留者承前，逆则减之，伏不尽度，除斗分，以行母为率。分有损益，前后相御。

武帝侍中平原刘智，以斗历改宪，推《四分法》，三百年而减一日，以百五十为度法，三十七为斗分。推甲子为上元，至泰始十年，岁在甲午，九万七千四百一十一岁，上元天正甲子朔夜半冬至，日月五星始于星纪，得元首之端。饰以浮说，名为《正历》。

当阳侯杜预著《春秋长历》，说云：

日行一度，月行十三度十九分之七有奇，日官当会集此之迟疾，以考成晦朔，以设闰月。闰月无中气，而北斗邪指两辰之间，所以异于他月。积此以相通，四时八节 无违，乃得成岁，其微密至矣。得其精微，以合天道，则事叙而不愆。故《传》曰：”闰以正时，时以作事。“然阴阳之运，随动而差，差而不已，遂与历错。故仲 尼、丘明每于朔闰发文，盖矫正得失，因以宣明历数也。

刘子骏造《三正历》以修《春秋》，日蚀有甲乙者三十四，而《三正历》惟得一蚀，比诸家既最疏。又六千余岁辄益一日，凡岁当累日为次，而故益之，此不可行之甚者。

自古已来，诸论《春秋》者多违谬，或造家术，或用黄帝已来诸历，以推经传朔日，皆不谐合。日蚀于朔，此乃天验，《经传》又书其朔蚀，可谓得天，而刘贾诸儒说，皆以为月二日或三日，公违圣人明文，其弊在于守一元，不与天消息也。

余感《春秋》之事，尝著《历论》，极言历之通理。其大指曰：”天行不息，日月星辰各运其舍，皆动物也。物动则不一，虽行度有大量可得而限，累日为月，累月 为岁，以新故相涉，不得不有毫末之差，此自然之理也。故春秋日有频月而蚀者，有旷年不蚀者，理不得一，而算守恆数，故历无不有先后也。始失于毫毛，而尚未 可觉，积而成多，以失弦望晦朔，则不得不改宪以从之。《书》所谓”钦若昊天，历象日月星辰“，《易》所谓”治历明时“，言当顺天以求合，非为合以验天者 也。推此论之，春秋二百余年，其治历变通多矣。虽数术绝灭，远寻《经传》微旨，大量可知，时之违谬，则《经传》有验。学者固当曲循《经传》月日、日蚀，以 考晦朔，以推时验；而皆不然，各据其学，以推春秋，此无异于度己之迹，而欲削他人之足也。

余为《历论》之后，至咸宁中，善算者李修、卜显，依论体为术，名《乾度历》，表上朝廷。其术合日行四分数而微增月行，用三百岁改宪之意，二元相推，七十余 岁，承以强弱，强弱之差盖少，而适足以远通盈缩。时尚书及史官，以《乾度》与《泰始历》参校古今记注，《乾度历》殊胜《泰始历》，上胜官历四十五事。今其 术具存。又并考古今十历以验《春秋》，知《三统》之最疏也。

《春秋》大凡七百七十九日，三百九十三《经》，三百八十六《传》。其三十七日食。三无甲乙。

《黄帝》历得四百六十六日，一蚀。

《颛顼历》得五百九日，八蚀。

《夏历》得五百三十六日，十四蚀。

《真夏历》得四百六十六日，一蚀。

《殷历》得五百三日，十三蚀。

《周历》得五百六日，十三蚀。

《真周历》得四百八十五日，一蚀。

《鲁历》得五百二十九日，十三蚀。

《三统历》得四百八十四日，一蚀。

《乾象历》得四百九十五日，七蚀。

《泰始历》得五百一十日，十九蚀。

《乾度历》得五百三十八日，十九蚀。

今《长历》得七百四十六日，三十三蚀。失三十三日，《经传》误；四日蚀，三无甲乙。

汉末，宋仲子集七历以考《春秋》，案其夏、周二历术数，皆与《艺文志》所记不同，故更名为《真夏》、《真周历》也。

穆帝永和八年，著作郎琅邪王朔之造《通历》，以甲子为上元，积九万七千年，四千八百八十三为纪法，千二百五为斗分，因其上元为开辟之始。

后秦姚兴时，当孝武太元九年，岁在甲申，天水姜岌造《三纪甲子元历》，其略曰：”治历之道，必审日月之行，然后可以上考天时，下察地化。一失其本，则四时 变移。故仲尼之作《春秋》，日以继月，月以继时，时以继年，年以首事，明天时者人事之本，是以王者重之。自皇羲以降，暨于汉魏，各自制历，以求厥中。考其 疏密，惟交会薄蚀可以验之。然书契所记，惟《春秋》著日蚀之变，自隐公讫于哀公，凡二百四十二年之间，日蚀三十有六，考其晦朔，不知用何历也。班固以为 《春秋》因《鲁历》，《鲁历》不正，故置闰失其序。鲁以闰余一之岁为蔀首，检《春秋》置闰不与此蔀相符也。《命历序》曰：孔子为治《春秋》之故，退修殷之 故历，使其数可传于后。如是，《春秋》宜用《殷历》正之。今考其交会，不与《殷历》相应，以《殷历》考《春秋》，月朔多不及其日，又以检《经》，率多一 日，《传》率少一日。但《公羊》、《经》、《传》异朔，于理可从，而《经》有蚀朔之验，《传》为失之也。服虔解《传》用太极上元，太极上元乃《三统历》刘 歆所造元也，何缘施于《春秋》？于《春秋》而用《汉历》，于义无乃远乎？《传》之违失多矣，不惟斯事而已。襄公二十七年冬十有一月乙亥朔，日有蚀之。 《传》曰：'辰在申，司历过，再失闰也。'考其去交分，交会应在此月，而不为再失闰也。案歆历于《春秋》日蚀一朔，其余多在二日。因附《五行传》，著朓与 侧匿之说云：春秋时诸侯多失其政，故月行恆迟。歆不以历失天，而为之差说。日之食朔，此乃天验也，而歆反以历非此，冤天而负时历也。杜预又以为周衰世乱， 学者莫得其真，今之所传七历，皆未必是时王之术也。今诚以七家之历，以考古今交会，信无其验也，皆由斗分疏之所致也。《殷历》以四分一为斗分，《三统》以 一千五百三十九分之三百八十五为斗分，《乾象》以五百八十九分之一百四十五为斗分，今《景初》以一千八百四十三分之四百五十五为斗分，疏密不同，法数各 异。《殷历》斗分粗，故不施于今。《乾象》斗分细，故不得通于古。《景初》斗分虽在粗细之中，而日之所在乃差四度，日月亏已，皆不及其次，假使日在东井而 蚀，以月验之，乃在参六度，差违乃尔，安可以考天时人事乎？今治新历，以二千四百五十一分之六百五为斗分，日在斗十七度，天正之首，上可以考合于《春 秋》，下可以取验于今世。以之考《春秋》三十六蚀，正朔者二十有五，蚀二日者二，蚀晦者二，误者五，凡三十三蚀，其余蚀经无日讳之名，无以考其得失

。图纬皆云”三百岁斗历改宪“。以今新施于春秋之世，日蚀多在朔，春秋之世，下至于今，凡一千余岁，交会弦望故进退于三蚀之间，此法乃可永载用之，岂三百岁斗历改宪者乎？

甲子上元以来，至鲁隐公元年已未岁，凡八万二千七百三十六，至晋孝武太元九年甲申岁，凡八万三千八百四十一，算上。

元法，七千三百五十三。

纪法，二千四百五十一。

通数，十七万九千四十四。

日法，六千六十二。

月周，三万二千七百六十六。

气分，万二千八百六十。

元月，九万九百四十五。

纪月，三万三百一十五。

没分，四万四千七百六十一。

没法，六百四十三。

斗分，六百五。

周天，八十九万五千二百二十。一名纪日。

章月，二百三十五。

章岁，十九。

章闰，七。

岁中，十二。

会数，四十七。日月八百九十三岁，凡四十七会，分尽。

气中，十二。

甲子纪交差，九千一百五十七。

甲申纪交差，六千三百三十七。

甲辰纪交差，三千五百一十七。

周半，一百二十七。

朔望合数，九百四十一。

会岁，八百九十三。

会月，万一千四十五。

小分，二千一百九十六。

章数，一百二十九。

小分，二千一百八十三。

周闰大分，七万六千二百六十九。

历周，四十四万七千六百一十。半周天

会分，三万八千一百三十四。

差分，一万一千九百八十六。

会率，一千八百八十二。

小分法，二千二百九。

入交限，一万一百四。

小周，二百五十四。

甲子纪差率，四万九千一百七十八。

甲申纪差率，五万八千二百三十一。

甲辰纪差率，六万七千二百八十四。

通周，十六万七千六十三。

周日日余，三千三百六十二。

周虚，二千七百一。

五星约法，据出见以为正，不系于元本。然则算步究于元初，约法施于今用，曲求其趣，则各有宜，故作者两设其法也。岌以月食检日宿度所在，为历术者宗焉。又著《浑天论》，以步日于黄道，驳前儒之失，并得其中矣。